跳　水

についてです。

「ちょーすい？はねる？ミズ・・・水が跳ねているサマを跳水と呼ぶんですかね？」
 

いえ、そうではありません。

勾配の急な水路の流れが、 フルード数 Fr > 1 、射流になっているとします。

「はぃ。イメージしましたぁ。しゃーって感じ。」
 

で、その下流に配が緩やかな水路があります。そこはゆっくり流れ、Fr < 1 の常流です。

「ほぅ・・・・急勾配水路から緩い勾配の水路に変わるわけですね。」

そうです。そのとき、急勾配から緩い勾配に変わるどこかで、生じる現象、それが跳水です。

(落書きみたいな絵ですな)

「あーこれかぁ・・・見たことある気がする。あるょ。これ、よくありますよね。

ふーん・・・そうか・・・これにはフルード数が・・・・そして射流と常流が関係あるんだね。

でも・・・・？？　なんで跳水現象って生じるんだろう？」
 

それを考えるのは とてもとても良いことです。

流れの慣性力と、粘性力と、波速と流速をイメージして見て下さい。

「んん・・・・・ん・・・・・今はいいです。」

流しでも、この跳水現象は簡単に見られます。

ほれ、左側がしゃーっと流れる射流、右が常流ながれで、

そのはざ間は、渦巻きながら段差のある水面となってますね。

さぁ、それでは、開水路の具体的な計算をして見ましょう。

同じ流量 Q を流します。水路の形は矩形、長方形断面。
 

「ぉ、もしや・・・マニングの平均流速公式ですか！」

そうです。粗度も変わらない、同じ値として、勾配を変化させましょう。
 

「はぁ・・・緩い勾配から・・・・急な勾配に変化させていくわけですね。同じ流量で。」
 

そうです。だんだんと勾配を急にすると、水路の流れは常識的には？どうなりますか？

「段々、流れが速くなる。」
 

ほかには？

「え？ほか？・・・・・。あ・・・・水深が・・・水深が浅くなる。」
 

そうです。そして、フルード数は大きくなっていきますね。
 

この関係を調べるためにマニングの平均流速公式を使うのですが、

今回の計算だけは、

矩形断面の幅Bを無限大にして考えましょう。

「幅が無限？∞？なんで？」

径 R深 を　水深 h として計算できるようにするためです。
 

幅B、水深hの径深 R = A/S = Bh / ( B+2h )でした。

もし、Bが無限に大きいと、 R は h と等しくなりましたね。

「そんな、ことも、あったなぁ・・・・」
 

さぁ、式をそろえて見ましょう。

【水路幅が無限大と仮定したマニングの平均流速公式】

U = n^-1  h ^2/3  I^１/2

【単位幅当たりの流量】

q = h × U

【波速】

c = √(gh)

【フルード数】

Fr= U / c

「じゃ、・・・計算しますよ！！って・・・最初は？何をすればいいんだろう？」
 

粗度係数 n は この先ずっと、 n=0.02m^-1/3ｓ で統一するとして・・・
 

じゃ、まず勾配�Tが 1/5,000 での流れを想定しましょう。水深はどれぐらいをイメージしますか？
 

「え？じゃ、10cm。浅くいくかな。」

ちょっと、浅すぎですね・・・・。そのあと段々勾配を急にして行くので・・・水深がどんどん浅くなる。
 

「そ、そっか・・・・。じゃ・・・ h= 1m にします。

n=0.02^-1/3ｓ で、h=1.0m、勾配 I = 1/5000=0.0002 の平均流速は・・・
 

U = 0.02^-1× 1.0 ^2/3 ×√ 0.0002 =0.707 m/s　　でました。」
 

じゃ、単位幅当たりの流量 q を計算して。
 

「なにそれ？・・・あぁ・・・水路幅が無限だから・・・流量を単位幅当たりするのか。」
 

そうです。単位幅当たりの流量 q の単位は、m³/s /m = m²/s となります。
 

「はい。 q = h × U  = 1m×0.707m/s = 0.707m²/s　です。」
 

波速は？フルード数は？
 

「 波速は・・・c = √(gh) =3.13m/s、　フルード数は Fr=0.707/3.13 = 0.23　となりましたぁ。」
 

いーですね。完全なる常流です。
 

「でも・・・勾配1/5,000てのは・・・5kmで1m低いだけ。ほとんど平らな高低差なのに、

水深が1mもあると、流速が70cm/sなんていう大きさになるんですね。」
 

なにしろ、幅が無限大なので、側壁摩擦がない分だけ流速が大きめになってしまいますが、

それでも、1/5,000勾配で水は流れるということです。
 

「で？これで・・・勾配を変えて行くんだ。・・・よし、次は、I = 1/4,000でやるぞ！
 

えっと・・・ I = 0.00025にして・・・・

U = 0.02^-1× 1.0 ^2/3 ×√ 0.00025 =0.791 m/s だ。でましたぁ！！

簡単簡単。で、・・・単位幅当たりの流量q は

q = 0.791m²/s です。　うしし。　そして・・・・ 」

ちょっと、ちょっと、それ、違いますよ。間違いです。
 

「へ？だって、だんだん、勾配を急にして行くんでしょう？」
 

そうです。流量を一定にして、勾配を急にして行くのです。
 

その計算だと、水深が一定で、流量が段々大きくなっちゃいますよ。
 

「ぁれ？・・・・ほんとだ・・・・そっか、流量一定になっていない。」
 

そう、勾配を変化させれば、本来、流速も水深も変化するはずですよね。
 

「そ、そうだよなぁ。勾配を急にすれば、流速は大きくなって、水深は浅くなっていくんだ。

ど、どうやって流量一定での計算をするの？」
 

q = hU を一定にして U=n^-1h^2/3I^1/2 で流速を計算する。

nは定数、q は一定、I は代入。

とすれば？ U　と　h　が未知量となりますね。で、式が2本ある。

「おぅ！　わかた。 q=hU　から、 U=q/h として、平均流速式に代入するんだ。」

そーです。そうすると?

「　q/h  = n^-1 h^2/3 I^1/2　　になるので、両辺に hをかけて

q= n^-1 h^5/3 I^1/2  となって・・・・

h^5/3 = qn/I^1/2  だから、

h = (  qn / I^1/2 )^3/5

でーす。　って・・・・あれ？ボクどうしたの?急にこんな計算すらすらと・・・」
 

よくできました。これで、流量と勾配と粗度係数を代入すると、水深が計算できます。

その水深ｈ から、 U=q/h　で平均流速が計算されます。

粗度係数0.02^-1/3ｓでの

単位幅当たりの流量 q = 0.707m²/s 一定とする幅無限仮定の開水路ながれ

「あれ？1/4000のは？・・・って、それは計算しろってことか・・・・

で？どゆいうふうに勾配を変えて行くの？」

そうですね・・・・1/4000、1/2000、1/1000、1/500、1/400、1/200、1/100、1/80、1/60、1/50、1/40

ぐらいで、いかがでしょう？

「ひー・・・・そ、そんなに？？」

さぁ！はじめ〜

「ひゃ・・・・ぽちぽち・・・・ぽち、ぽち・・・・

q=0.707m²/sとn=0.02と勾配Iを入れて・・・h = ( qn/I^1/2)^3/5で　hを計算して・・・

√(9.8×h)で波速cを計算して・・・U=q/hで平均流速を計算して・・・で U/cでフルード数・・・・」

「ひぃ〜・・・・終わった・・・大変でした。合ってるのかなぁ？でも・・・・なるほどねぇ・・・。」
 

おーいい具合に計算できたようですね。じゃ、批評して見て下さい。
 

「自分がやった計算ですが･･･ぅおっほーぅおん！じゃ、

この表からわかることは・・・・いっぱい、あります。

同じ流量を流した開水路で、勾配を段々急にしていく流れを表していますが、

水深は、だんだん浅くなっていき、1/5000と比べると100倍急になった1/50で1/4の水深になってます。

で・・・

水深の1/2乗に比例する波速も、段々遅くなっていきますが・・・1/5000と1/50では・・・あ、ちょうど半分ぐらいですね。

勾配が100倍大きくなっても、波速の変化は1/2にしかならないってことか・・・

で・・・平均流速は、だんだん速くなります。1/5000と1/50では・・・4倍速くなってます。

そして・・・フルード数ですが、これも勾配が大きくなると徐々に大きくなっていきます。

1/5000と1/50の比較は・・・7.74倍・・・だなぁ・・・あ！！

フルード数・・・・ Fr<1 で常流、 Fr>1 で射流でしたね。だったら、

勾配が1/200までは常流、それ以上きつい勾配では射流になりまーす。　おわりぃ！」
 

ぱちぱちぱちぱち〜すばらしぃ〜

すごい！よくできましたぁ。

「はー・・・じゃ、今日は終わりってことで・・・はぁはぁ・・・」

ぁぃゃ・・・まだです。
 

折角だから、 Fr=1 の流れを計算しましょう。

「ェー！まだやるのぉ？も〜いーょぅ」

でも・・・それやらないと、明日も最初から計算してもらうことになりますよ。

「やりましょう！　はぃ。Fr=1の流れですね。どうすんの？」

Fr=U/c=1 だから、

U=c=√(gh)

U² =gh

h= U²/g

ですね。

「はぁ、まぁそうですね・・・・。おぅ、で、 q =hU だから、それに代入する。」

q = h U = U²/g ×U  = U³ /g

したがって

U³ = q　g

よって

U = ( q ｇ )^1/3
 

「はぁ・・・なんか今日は、3/5乗やら1/3乗やらのべき乗の計算が多いなぁ・・・」

じゃ、計算して見て。

「 Fr=1となる、平均流速は U =1.906m/s です。その時の水深は h=0.371m です。」

Fr=1 になってますか？

「えっと・・・ √(gh) =1.907m/s ・・・あ、OKです。桁オチしてちょこっと違いますが、合ってます。」

すーぅばらしい。じゃ、その時の勾配は？

「ェ〜・・・こんどは、勾配？Fr=1になるときのぉ？ひー・・・・

U= n^-1 h^2/3 I^1/2　から・・・・

I^1/2 = Un /h^2/3 で・・・・

I = ( Un / h^2/3)² = ( 1.906×0.02 ÷ 0.371^2/3 )² = 0.0055

つまり勾配 I　は0.0055で・・・約183分の1です。約 1/183 です。

おー！さっきの表で1/200のとき Fr=0.96だったから・・・

それよりちょっと急なとき、Fr=1だし！

合ってるね！コレ、合ってますよ。あってるます。合ってなんぼだよ。」
 

ぃや〜お見事でした。

「もーぃぃ・・・水理学って計算ばっかりなんだね。」

ぇぇ。計算ばっかり ですよ。

「こんなのエクセルとかで、ぱっぱとやればいいのに。」

私はもちろんそうします。
 

でも・・・・それはこれらの意味内容そして実際を知っているからです。

初めての人は、ぅんぅん言いながらでも、こつこつ電卓で計算するほうがいいんです。

開水路の流れ

同じ流量でも、勾配が変わると流速も水深も変わる。

流れの状態は フルード数　で　評価

フルード数　Fr<1  常流ordinary flow

フルード数 Fr > 射流 jet flow

そして、Fr=1 となる流れは

Fr=1 限界流 critical flow

と呼ばれます。

Fr=1の流れ、限界流には、とってもとっても深い意味が込められているんです。

その話は、ずっと後に。

　第17話　

こんどこそ　跳ねる水

につづく。